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　　专题03 二元一次方程组的应用（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

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　　专题03 二元一次方程组的应用（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

　　专题03 二元一次方程组的应用 （九大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】...................................................................... .1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】....................................................................5 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】........................................................................10 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】........................................................................12 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】........................................................................15 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】........................................................................19 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】............................................................27 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】......................................................................36 【题型9 二元一次方程组的应用-其他问题】......................................................................40 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】 1．某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用代数式表示，一元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）利用代数式表示出生产螺母的工人，再根据螺栓与螺母配套的数量关系“螺母数量螺栓”列出方程即可； （2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据车间工人总数，以及螺栓与螺母配套的数量关系建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 2．一列复兴号高铁上只有充电口和插座充电口，已知每个充电口提供5瓦功率，每个插座充电口提供10瓦功率，且所有充电口的总功率为9000瓦，若每2个插座充电口需配1个充电口组合成一套“多孔标配插座面板”，此列复兴号高铁上的充电口和插座充电口正好配套．求有多少个充电口，多少个插座充电口． 【答案】充电口360个，插座充电口720个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键． 设有x个充电口，y个插座充电口，根据所有充电口的总功率为9000瓦，每2个插座充电口需配备1个充电口组合成一套“多孔标配插座面板”，列出方程组求解即可． 【详解】解：设有x个充电口，y个插座充电口， 根据题意，得， 解得， 答：充电口360个，插座充电口720个． 3．七（1）班有54名学生参加学校运动会会场的布置，每名学生可搬2把椅子，2名学生可合作抬1张桌子，则在一次搬运过程中应安排多少名学生搬椅子，多少名学生抬桌子正好使桌椅配套？（注：1张桌子配2把椅子） 【答案】安排18名学生搬椅子，36名学生抬桌子 【分析】设应安排x名学生搬椅子，y名学生抬桌子，根据条件得到关于、的二元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：设应安排x名学生搬椅子，y名学生抬桌子， 根据题意，得，解得. 答：应安排18名学生搬椅子，36名学生抬桌子正好使桌椅配套． 【点睛】本题主要考查二元一次方程，根据题意得到二元一次方程是解题的关键． 4．学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 【答案】5人装配双人课桌、4人装配单人椅 【分析】设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套，由题意得：，解方程组即可． 【详解】解：设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套， 由题意得：， 解得：， 答：5人装配双人课桌、4人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组． 5．某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 【答案】6人生产螺栓，8人生产螺母 【分析】设人生产螺栓，人生产螺母，根据题意列二元一次方程组解决问题． 【详解】解：设人生产螺栓，人生产螺母， 由题意得， 解得 答：6人生产螺栓，8人生产螺母能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 6．木工师傅要用40张木工板做长方体包装箱，准备先把这些木工板分成两部分，一部分做侧面，一部分做底面．已知： 一：1张木工板，恰好做3个底面，或者做2个侧面（1大1小）； 二：2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱． 根据以上材料解决下列问题： (1)工人师傅分别需用多少张木工板做侧面和底面，才能使做成的侧面和底面正好配套？ (2)如果需要做这个包装箱20个，那么至少还需要同样的木工板多少张？（直接写出结果） 【答案】(1)用30张木工板做侧面，10张木工板做底面 (2)至少需要14张木工板 【分析】（1）设工人师傅用张木工板做侧面，张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答； （2）由（1）知，工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，可以做成个包装箱，还差5个包装箱，所以一个包装箱需要张木工板做底，张做侧面，所以还需张，所以至少14张木工板． 【详解】（1）解：设工人师傅用张木工板做侧面，张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套， 根据题意得：， 解得：． 答：工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套． （2）解：由（1）知，工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，可以做成个包装箱，还差5个包装箱， ∴一个包装箱需要张木工板做底，张做侧面 ∴还需张， ∴至少需要14张木工板， 答：至少需要14张木工板． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在根据题意，正确找出等量关系，列出方程组． 7．今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 8．某文具店用460元购进A，B两种钢笔，按标价售出后可获得总利润160元，这两种钢笔的进价，标价如表所示． 类型 A B 进价（元/支） 8 10 标价（元/支） 10 14 (1)求这两种钢笔各购进的件数； (2)如果A种钢笔按标价的9折出售，B种钢笔按标价的折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)设购进型钢笔20支，购进型钢笔30支 (2)41元 【分析】（1）设购进型钢笔支，购进型钢笔支，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论列出算式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设购进型钢笔支，购进型钢笔支， 根据题意得， ， 解得， 答：设购进型钢笔20支，购进型钢笔30支． （2）打折后利润为：（元）， （元）， 答：文具店比标价出售少收入41元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 9．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元． 电视机型号 甲 乙 批发价（元/台） 1500 2500 零售价批发价（元/台） 2025 3640 (1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？ (2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？ 【答案】(1)购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台 (2)8折 【分析】（1）设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，根据“商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种型号电视机打折销售，根据“两种电视机销售完毕，商场共获利”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台； （2）设甲种型号电视机打折销售， 由题意得：， 解得：， 答：甲种型号电视机打8折销售． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 10．根据图提供的信息，求杯子和茶瓶的价格． 【答案】杯子8元，茶瓶35元 【分析】设茶瓶每个元，杯子每个元，结合1个茶瓶，2个杯子共51元，2个茶瓶，3个杯子共94元，再列方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设茶瓶每个元，杯子每个元，则 ②①得：③ ①③得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为；， 答：杯子每个8元，茶瓶每个35元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据图片信息确定相等关系是解本题的关键． 11．在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【答案】76分 【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分． 【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分， 依题意，得， ，得． 答：小明的得分为76分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系． 12．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． (1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值； (2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可； （2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可． 【详解】（1）解：由已知条件可得， 解得：． （2）解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键． 13．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元 (2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可 （2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解． 【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得 4×2a－5×a＝60， 解得a＝20， 则2a＝40． 答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元； （2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意，得 解得 【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 14．某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 15．一列快车长，慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，求两车的平均速度各是多少？ 【答案】快车，慢车的平均速度分别为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键． 设快车，慢车的平均速度分别为、，根据“若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为，”建立二元一次方程组并求解即可得出答案． 【详解】解：设快车，慢车的平均速度分别为、， 根据题意列方程组：， 解得， 故快车，慢车的平均速度分别为，． 16．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 17．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；已知甲比乙跑得慢，甲、乙二人每分各跑多少圈？ 【答案】乙每分跑圈，甲每分跑圈； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乙每分跑圈，甲每分跑圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟相遇一次；列出二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：设乙每分跑圈，甲每分跑圈， 由题意得：， 解得：， 答：乙每分跑圈，甲每分跑圈． 18．小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？ 【答案】 【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由时间关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由题意得 解得， 所以． 答：小明家到学校的距离是． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 19．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 20．为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 21．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． 22．某地为了打造风光地带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道 【分析】设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 23．如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 【答案】一个小花圃的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小花圃的长为，宽为，根据大矩形的长和宽与小矩形的长和宽之间的关系，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设小花圃的长为，宽为，由题意和图，可得： ， 解得， 答：一个小花圃的长为，宽为． 24．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为60米，20米 (2)该实践基地的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出、的值，从而可得大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式即可得．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为60米，20米； （2）解：大长方形的长为米，宽为80米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 25．在大长方形中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽． 【答案】小长方形长为8，宽为3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形长为x，宽为y，根据长加宽的3倍等于17，长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为x，宽为y， 由题意得，， 解得：， 答：小长方形长为8，宽为3． 26．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低cm，求每块墙砖的截面面积． 【答案】每块墙砖的截面面积是． 【分析】设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖截面的长为，宽为根据题意，得， 解得， 每块墙砖的截面面积是． 答：每块墙砖的截面积是． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键． 27．用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积． 【答案】 【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果． 【详解】设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为， 根据题意可得， 解得， ∴长为，宽为，高为， 则体积， 则这种药品包装盒的体积为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长． 28．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）    (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值； (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②能否在做成若干只上述的两种礼盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，竖式礼品盒与横式礼品盒分别做了几个？若不能，做成竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多几个？并直接写出此时横式无盖礼品盒的个数．    【答案】(1)， (2)①64，38；②见解析 【分析】（1）由图示列出关于、的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 即图甲中与的值分别为60，40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的型板材和型板材用完，理由如下： 设竖式礼品盒做个，横式礼品盒做个， 则型板材需要个，型板材需要个， 则， 解得：， 、是非负整数， 不能恰好把①中的型板材和型板材用完， ， 最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 29．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 30．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 【答案】(1)1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨 (2)该物流公司有29吨货物要运输 【分析】（1）设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合恰好每辆车都载满货物列式求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨， 由题意得，解得， 答：1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． （2）解：依题意得：（吨）． 答：该物流公司有29吨货物要运输． 31．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 32．已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨 (2)①两种租车方案，方案见解析；②省钱的租车方案为租型车辆，型车辆，租车费用为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、代数式求值、二元一次方程的解等知识点，读懂题意列出方程组是解题的关键． （1）设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨．再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）可得，再根据二元一次方程的解可得或，据此即可确定租车方案；②分别确定两种租车方案所需费用，然后再比较即可． 【详解】（1）解：设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨． 根据题意，得，解得：． 答：辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨和吨． （2）解：①根据题意和（1），得． 根据题意可得a、均为正整数， 或． 共有两种租车方案： 方案租型车辆，型车辆； 方案租型车辆，型车辆． 方案的租金为：元， 方案的租金为：元． ， 最省钱的租车方案为方案，租车费用为元. 33．研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 (2)共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 (3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 34．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元． (1)求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案． 【答案】(1)A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元 (2)学校共有三种购进方案：方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元，根据“购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元”建立方程组求解； （2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．根据题意，得，整理得，再求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元． 根据题意，得 解得 答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元． （2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个． 根据题意，得， ． 由题意得m，n均为正整数， 或或． 学校共有三种购进方案： 方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个； 方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个； 方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个． 35．某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 (1)分别求两种型号空调的销售单价； (2)六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 【答案】(1)型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元 (2)共有两种购买方案；方案一：购买型空调3台，型空调6台；方案二：购买型空调6台，型空调2台 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次不定方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和二元一次不定方程． （1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； (2)根据条件列出二元一次不定方程，求解所有满足条件的解，得出方案即可． 【详解】（1）（1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据题意得 ， 解得： 答：型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元． （2）根据题意得：， 化简，得， 由题意可知，，都是正整数， 所以方程的所有正整数解为或， 所以共有两种购买方案；方案一：购买A型空调3台，B型空调6台；方案二：购买A型空调6台，B型空调2台． 36．八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． (1)A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ (2)购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； (2)共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，根据买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元建立方程组求解即可； （2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，根据班级预算是200元，且使预算刚好花完建立方程，并求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； （2）解：设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案： 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 37．某水果销售店用1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 7 乙种 10 15 (1)这两种水果各购进多少千克？ (2)由于乙种水果运输和售卖过程中出现了的损耗，若该水果店按售价销售完剩下的所有水果，是赚钱还是赔钱了？赚或赔了多少元？ 【答案】(1)购进甲种水果40千克，乙种水果100千克 (2)赚钱了，赚了280元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算的应用，理解题意准确列出方程组为解题关键． （1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据1200元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，列出方程组求解即可； （2）先算出两种水果的总销售额，再减去进价费用1200元即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克， 根据题意得：， 解得：，， 答：购进甲种水果40千克，乙种水果100千克； （2）解：甲种水果的销售额为（元）， 乙种水果的销售额为（元）， 则总销售额为（元）， （元）， 答：赚钱了，赚了280元． 38．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中一次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购．三次采购的物品数量及总费用如下表： 采购批次 运动毛巾（条） 瑜伽垫（个） 总费用（元） 第一次购物 5 4 300 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)健身馆以折扣价购买运动毛巾和加厚款瑜伽垫是第_________次购物； (2)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (3)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)二 (2)运动毛巾的市场单价为20元/条，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元/个 (3)打9折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）假设三次均未打折，求出第一、二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫的花费，若相同，则第三次购物打折，若不同，则花费少的打折； （2）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：假设三次均未打折， 第二次购物比第一次购物多买2条运动毛巾，2个瑜伽垫，多花元， 即第二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 第一次购物比第三次购物多买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，多花元， 即第一次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 可知第二次购物的价格低， 即以折扣价购买是第二次购物． 故答案为：二； （2）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （3）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 39．某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 【答案】(1)复读机单价是360元，书包单价是92元 (2)都能买下这两样物品，在A超市购买更省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的复读机单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设复读机单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：复读机单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B先买下复读机，可得， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 40．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． (1)求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； (2)该航天模型商店计划购进两种模型各100个，若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，销售完这批模型的利润是多少元？ 【答案】(1)“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元 (2)销售完这批模型的利润是4300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元，然后列式计算，即可作答． （2）根据总售价-总成本=总利润即可作答． 【详解】（1）解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 由题意得， 解得， 答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元． （2）解：（元）． 答：销售完这批模型的利润是4300元． 41．某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元． (1)求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ (2)若该商店决定花600元购进这两种文创产品，求该商店共有几种购进这两种文创产品的方案？请写出所有购买方案． 【答案】(1)甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元 (2)共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创产品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用： （1）根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意列二元一次方程，找到整数解即可求得结果． 【详解】（1）解：设甲种文创产品每件的费用是x元，乙种文创产品每件的费用是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品每件的费用是30元，乙种文创产品每件的费用是25元； （2）解：设购进甲种文创产品m件，则购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 解得：， ∴或或； 答：共有三种购买方案，甲种文创产品买15件，乙种文创产品买6件；甲种文创产品买10件，乙种文创产品买12件；甲种文创产品买5件，乙种文创产品买18件． 42．根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为元千克，元千克．    素材 商店将两种糖果混合形成型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成型什锦糖，每份重千克，价格元． 素材 小温恰好用元各买了若干份，型什锦糖． 问题解决 任务 确定型单价 每份什锦糖需要多少元？ 任务 确定型配比 每份什锦糖中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 【答案】任务：每份什锦糖的单价为元 任务：每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 任务：根据总价÷数量=单价进行计算即可； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克，根据题意可列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：任务：每份什锦糖的单价为（元）， 答：每份什锦糖的单价为元； 任务：设每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克， 由题意得， ， 解得， 即每份什锦糖需要甲糖果千克，需要乙糖果千克． 43．某风扇专卖店准备购进两款电风扇，一款是手持小电风扇，一款是落地大电风扇．已知第1批购进6台小电风扇和3台大电风扇共需要330元，第2批购进10台小电风扇和6台大电风扇共需要630元． (1)求购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要的钱数． (2)在进价不变的情况下，若该专卖店第3批购进小电风扇35台，大电风扇15台，则购进这两种电风扇共花费了多少元？ 【答案】(1)购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元； (2)第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了元． 【分析】本题考查了有理数加法和乘法的应用，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （）设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要元，元，根据题意列得二元一次方程组，求解即可； （）根据（）的结果，计算即可求解． 【详解】（1）解：设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要元，元， 根据题意得，， 解得：， ∴购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元； （2）解：第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了（元）， 答：第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了元． 44．某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下： 饮料品种 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 18 24 乙 22 25 (1)商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？ (2)该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？ 【答案】(1)商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱 (2)销售完这150箱饮料后可获得利润750元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意列二元一次方程组，利用代入法解方程组即可； （2）根据总利润甲种饮料利润乙种饮料利润解题． 【详解】（1）解：设购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，根据题意可得， ， 由①得，③， 把③代入②中，得， ， ， 把代入③得， 解得， 答：商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； （2）解：(元)， 答：销售完这150箱饮料后可获得利润750元． 45．某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买4千克雪花酥和5千克牛轧糖，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求雪花酥、牛轧糖每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了10%，雪花酥销量上升10千克，销售总额比12月多出1050元，求m的值． 【答案】(1)雪花酥的价格为100元，每千克牛轧糖的价格为80元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）(1)设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，依题意得： ， 解得， 答：雪花酥的价格为100元，每千克牛轧糖的价格为80元 （2）解：根据题意得 ， 解得， 即的值为10． 46．在数学文化节的筹备之际，一家书店为丰富活动的阅读资源，用 2200 元精心购进了《数学简史》和《巧思巧解数学》两种极具数学特色的读本共 100 本．这两种书的进价和标价如下表所示： 书名 《数学简史》 《巧思巧解数学》 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 (1)《数学简史》、《巧思巧解数学》各购进了多少本？ (2)若《数学简史》按标价的9折出售，《巧思巧解数学》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)《数学简史》购进了60本，《巧思巧解数学》购进了40本； (2)这两种书全部售出后，该商店共获利700元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组求出两种书的购进数量是解题的关键． （1）设《数学简史》购进了x本，《巧思巧解数学》购进了y本，根据用 2200 元精心购进了《数学简史》和《巧思巧解数学》两种极具数学特色的读本共 100 本建立方程组求解即可； （2）用标价乘以折扣求出实际售价，用实际售价减去进价得到每本书的利润，再分别求出两种书的利润，求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设《数学简史》购进了x本，《巧思巧解数学》购进了y本， 由题意得，， 解得， 答：《数学简史》购进了60本，《巧思巧解数学》购进了40本； （2）解：； 答：这两种书全部售出后，该商店共获利700元． 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】 47．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据题意列二元一次方程组，解题关键是找准等量关系，完成正确单位换算，和的单位为分，需将总价换算为分后列等式． 【详解】解：∵设每尺绫值分，每尺绢值分，且钱分 ∴ 由“三尺绫和四尺绢共值四钱八分”可得，四钱八分分，列等式得 ； 由“七尺绫和二尺绢共值六钱八分”可得，六钱八分分，列等式得 ． 因此可得方程组 ． 48．《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了件，裙子做了件，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设衣服做了件，裙子做了件，根据件数和布的数量列出方程即可． 【详解】解：设衣服做了件，裙子做了件， 根据题意得， 故选：A． 49．《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 50．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵， 依题意，得： 故选：A． 51．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列方程组，设大马有x匹，小马有y匹，根据马匹数量，得，根据瓦片数量，可得，联立方程组即可． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，根据马匹数量，得，根据瓦片数量，可得，联立方程组得． 故选：B． 52．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（   ） 2 5 7 8 A．9 B．1 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键． 由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程、，最终求出并计算 ． 【详解】解：由题意得： 解得： ∴． 故选：B． 53．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选：D． 【题型9 二元一次方程组的应用-其他问题】 54．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知解密规则为：明文对应密文，例如：明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到明文为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据密文是，得到，求解即可．读懂题意，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； ∴解密得到明文为； 故选D． 55．一停车场上有辆车，其中一辆汽车有个轮子，一辆摩托车有个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有个轮子，那么摩托车应为（） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，根据题目给出的条件，找到合适的等量关系，列出方程组，求解方程组，是解答本题的关键． 根据题意，设摩托车应为辆，汽车辆，由此列出二元一次方程组，解出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意设： 摩托车应为辆，汽车辆， 则， 解得， 摩托车应为辆， 故答案为：． 56．明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 57．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 58．为改善人居环境，推进美丽城市建设．某地对居民生活垃圾处理情况进行了调查，发现该地每天共需处理生活垃圾930吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位处理完．已知3个A型预处置点位比4个B型预处置点位每天少处理21吨生活垃圾，求每个A型预处置点位和每个B型预处置点位每天处理生活垃圾各多少吨？ 【答案】每个A型预处置点位每天处理生活垃圾45吨，每个B型预处置点位每天处理生活垃圾39吨． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系，并据此列出方程组． 设每个A型预处置点位每天处理生活垃圾x吨，每个B型预处置点位每天处理生活垃圾y吨，根据“每天共需处理生活垃圾930吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位处理完．已知3个A型预处置点位比4个B型预处置点位每天少处理21吨生活垃圾”列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个A型预处置点位每天处理生活垃圾x吨，每个B型预处置点位每天处理生活垃圾y吨， 根据题意得， 解得：， 答：每个A型预处置点位每天处理生活垃圾45吨，每个B型预处置点位每天处理生活垃圾39吨． 59．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键． （1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可； （2）求出当时的的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ②①得：  ， 解得：， 把代入①得：， 所以， ∴， 答：，． （2）解：当时，， 解得． 答：当水位时，时间为． 60．某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量 水费/元 甲户 乙户 (1)求该市居民用水的两种水价． (2)该市丙户居民去年交水费元，那么丙户居民去年的用水量为多少立方米？ 【答案】(1)基本水价为5元/m3，超过m3水价为7元/m3 (2)立方米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出x和y的二元一次方程组； （1）设基本水费价格为x元/立方米，超过的部分的水费价格为y元/立方米，列出方程组求解即可； （2）根据所交水费，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设基本水价为x元，超过水价为y元，依题意，得 ， 解得， 答：基本水价为5元，超过水价为7元． （2）设丙户居民去年的用水量为m立方米，依题意，得 ， 解得． 答：丙户居民去年的用水量为立方米． 61．投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下，求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 【答案】一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式是关键． 设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分，分，由此列方程组求解即可． 【详解】解：设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分，分， 根据题意，得， 解得， 答：一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分． 62．在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 【答案】总利润为42万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是∶找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，根据、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，可列方程组；设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，根据表格中的数据可列方程组，再根据题意计算总利润即可． 【详解】解：设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                  解得：                     设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                    解得：            总利润：             答：生产、两种太阳能光伏板的预计总利润为42万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的应用 （九大题型） 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】...................................................................... .1 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】....................................................................3 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】........................................................................6 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】........................................................................7 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】........................................................................8 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】........................................................................11 【题型7 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】............................................................14 【题型8 二元一次方程组的应用-古代问题】......................................................................18 【题型9 二元一次方程组的应用-其他问题】......................................................................19 【题型1 二元一次方程组的应用-配套问题】 1．某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 2．一列复兴号高铁上只有充电口和插座充电口，已知每个充电口提供5瓦功率，每个插座充电口提供10瓦功率，且所有充电口的总功率为9000瓦，若每2个插座充电口需配1个充电口组合成一套“多孔标配插座面板”，此列复兴号高铁上的充电口和插座充电口正好配套．求有多少个充电口，多少个插座充电口． 3．七（1）班有54名学生参加学校运动会会场的布置，每名学生可搬2把椅子，2名学生可合作抬1张桌子，则在一次搬运过程中应安排多少名学生搬椅子，多少名学生抬桌子正好使桌椅配套？（注：1张桌子配2把椅子） 4．学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 5．某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 6．木工师傅要用40张木工板做长方体包装箱，准备先把这些木工板分成两部分，一部分做侧面，一部分做底面．已知： 一：1张木工板，恰好做3个底面，或者做2个侧面（1大1小）； 二：2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱． 根据以上材料解决下列问题： (1)工人师傅分别需用多少张木工板做侧面和底面，才能使做成的侧面和底面正好配套？ (2)如果需要做这个包装箱20个，那么至少还需要同样的木工板多少张？（直接写出结果） 7．今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 8．某文具店用460元购进A，B两种钢笔，按标价售出后可获得总利润160元，这两种钢笔的进价，标价如表所示． 类型 A B 进价（元/支） 8 10 标价（元/支） 10 14 (1)求这两种钢笔各购进的件数； (2)如果A种钢笔按标价的9折出售，B种钢笔按标价的折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？ 9．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元． 电视机型号 甲 乙 批发价（元/台） 1500 2500 零售价批发价（元/台） 2025 3640 (1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？ (2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？ 10．根据图提供的信。